Tecnicas de conteo: junio 2011

jueves, 23 de junio de 2011

Esperanza Matematica (Probabilidad)

La esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria

X

, es el número $\operatorname{E}(X)$ que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

EJEMPLO 1: Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x	p _i
0	0,1
1	0,2
2	0,1
3	0,4
4	0,1
5	0,1

Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

EJEMPLO 2: Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

EJEMPLO 3: Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable:

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4.

Diagrama de arbol ( Probabilidad)

Basicamente se a explicado en el primer tema lo que es un diagrama de arbol, ya sabemos que se entiende como:

Una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad:

EJEMPLO 1:

Una universidad tiene de tres facultades:

La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

Árbol con el planteamiento del problema.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

$P(alumna \ de \ la \ 1^a \ facultad) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3$

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

$P(alumno \ var\acute{o}n) = 0,5 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4= 0,4$

EJEMPLO 2:

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1 Seleccionar tres niños.

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

1 Seleccionar tres niñas.

EJEMPLO 3: si se lanzan dos monedas,La probabilidad de cara es 1/2, y la probabilidad de sello también es 1/2:

la probabilidad de cara,cara es
1/2 x 1/2 = 1/4

La probabilidad de cara, sello es

1/2 x 1/2 = 1/4

Eventos Independientes (Probabilidad)

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos):

EJEMPLO 1: Cual es la probalidad de vivir al tirarse al vacio (considerando que se puede vivir o morir) o sacar un As en una baraja?
(disculpe el ejemplo maestra xD)

P (vivir, As) = (1/2) (4/52) = 1/26 de probabilidad

EJEMPLO 2: Cuales la probabilidad de meter gol (considerando que se puede anotar o fallar) o sacar sello si se tira una moneda al aire?:

P(Meter gol, sello) = (1/2)(1/2) = 1/4 de probabilidad

EJEMPLO 3: Cual es la probabilidad de sacar un numero par de 24 numeros o ganar en una apuesta? ( considerando que se puede ganar o perder):

P (n.par, ganar) = (12/24)(1/2) = 1/4 de probabilidad

Eventos Que NO Son Mutuamente Excluyentes (Probabilidad)

Este tipo de eventos son los que SI pueden ocurrir al mismo tiempo.

EJEMPLO 1: Cuales la probabilidad se sacar un 4 o un trebol?

P( 4 y trebol ) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 de probabilidad

EJEMPLO 2: Cual es la probabilidad de sacar una letra con lugar impar en el abecedario o una vocal?:

P( impar y vocal ) = 14/27 + 5/27 - 1/27 = 18/27 de probabilidad

EJEMPLO 3 :cual es la probabilidad de sacar una ficha color negra de una caja de 3 tipos de colores o el numero 1? considerando que en la caja hay 30 fichas con numeros del 1 al 30:

P (negra y 1) = 10/30 + 3/30 - 1/30 = 12/30 de probabilidad de sacar una ficha negra con el numero 1.

Eventos Mutuamente Excluyentes (Probabilidad)

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

EJEMPLO 1: Se tienen en una bodega 12 automoviles de diferente color ( 5 azules, 2 negros, 4 blancos y 1 gris) , si se elige uno al azar con los ojos tapados, cual es la probabilidad de que se escoja un automovil blanco o uno azul?:

P (blanco o azul) = 4/12 + 5/12 = 9/12 de probabilidad de escojer un auto blanco o azul

EJEMPLO 2: En un casino se tiene una ruleta de numeros ganadores, si en total son 50 numeros que hay en juego ( de los cuales 9 son del primer lugar, 18 son del segundo y 23 del tercer lugar), cual es la probabilidad de que NO se saque un numero del segundo y tercer lugar?

P (Segundo lugar ' o tercer lugar ') = 1 - 41/50 = 9/50 de probabilidad

EJEMPLO 3: En un establo hay 34 caballos de diferente raza ( 20 son mustang, 9 camargue, 5 mongol) cual es la probabilidad de que se escoja se escoja un caballo mustang o un mongol?:

P(Mustang o Mongol) = 20/34 + 5/34 = 25/34 de de escoja un mustang y un mongol.

lunes, 20 de junio de 2011

Probabilidad Clasica (Probabilidad)

La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

$p=P\{S\}=\frac {h}{n}$

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

$q=P\{no S\}=1-\frac {h}{n}$

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por

Ω

, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por

ω 1,ω 2

, etcétera, son elementos del espacio

Ω

EJEMPLO 1: supongamos que se colocan cuatro canicas en una caja, los colores de las canicas son (rojo, azul, amarillo, verde).

El experimento consiste en sacar de la caja una canica sin escogerla, es decir, al azar y al repetirlo se regresa la canica extraída, es decir, es un experimento aleatorio porque todas las canicas tienen la misma probabilidad de salir, la probabilidad de salir de cada evento es:

P (E) =

Cada evento elemental puede identificarse con una letra mayúscula.

EJEMPLO 2: La probabilidad de sacar un naipe al azar que sea un As tomando en cuenta que son 52 cartas:

La probabilidad seria de 4/52 lo que es equivalente a 7.6% de que salga un As

EJEMPLO 3: La probabilidad de sacar una canica verde de una cubeta considerando que solo hay 3 canicas verde en la cubeta y un total de 150 canicas de colores distintos:

La probabilidad seria de 3/150 lo que es equivalente al 2% de que salga una canica verde.

Combinaciones (Tecnicas De conteo)

Se caracterizan por ser arreglos SIN ORDEN de cualquier objeto , letra o numero:

EJEMPLO 1: De cuantas formas se pueden realizar equipos de 5 personas para la clase de matematicas que tiene un total de 30 alumnos?:

30 C 5 = 142,506 formas

EJEMPLO 2: De cuantas maneras una persona en un supermercado puede seleccionar 3 latas de atun de una lista de 8 marcas diferentes?:

8 C 3 : 56 formas

EJEMPLO 3 : De cuantas maneras se pueden formar grupos de 3 conejos si en total hay 9 razas diferentes?

9 C 3 = 72 formas.

Permutaciones

Se caracterizan por ser arreglos ORDENADOS de objetos, letras o numeros. Llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto:

EJEMPLO 1: De cuantas formas se pueden entregar 3 viajes ( acapulco, colorado e italia) entre un grupo de 10 personas?:

10 P 3 = 20 formas.

EJEMPLO 2: de cuantas formas se pueden repartir medallas de oro, plata y bronze entre 5 atletas?:

5 P 3 = 60 formas.

EJEMPLO 3: De cuantas maneras (permutaciones) se pueden clasificar en la liguilla 8 de los 18 equipos en la liga mexicana de futbol?

18 P 8 = 1,764,322,560 maneras.

Principio Fundamental

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

EJEMPLO 1.-El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

/ tasa de chocolate
    / chocolate <
   /             \ cono de chocolate
  /
 /         / tasa de fresa
<-- fresa <
 \         \ cono de fresa
  \
   \            / tasa de vainilla
    \ vainilla <
                \ cono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.

/ tasa de chocolate
            / 
    / tasa <-- tasa de fresa
   /        \ 
  /          \ tasa de vainilla
 /              
<
 \              
  \          / cono de chocolate
   \        / 
    \ cono <-- cono de fresa
            \ 
             \ cono de vainilla

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.
Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados.

EJEMPLO 2.- Si podemos viajar de San Francisco a Chicago de 3 formas y después de Chicago a Nueva York en 2 formas, entonces podemos ir de San Francisco a Nueva York en 3×2, o 6 formas.

EJEMPLO 3.- De cuantas formas puede vestirse una persona que tiene 3 playeras, 4 pantalones, 2 tenis? la respuesta es 3 x 4 x 2 =24 formas distintas de vertirse.

Diagrama de arbol

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Ejemplos:

1.- Si planeamos hacer un viaje de vacaciones y estamos indecisos de ir a Acapulco, Huatulco, Cancun o Ixtapa, y no sabemos si ir en autobus, avion o automovil, ¿de cuantas maneras diferentes podriamos arreglar uno de los viajes?

En el diagrama de arbol nos damos cuenta de que existen 12 maneras diferentes de arreglar el viaje. La respuesta que obtuvimos es de 4 x 3 = 12, especificamente , el producto del numero de lugares y numeros de transportes.

2.-Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

Tres caras.

3.- Encontrar todas las formas diferentes de combinar tres numeros: