Esperanza Matematica (Probabilidad)

La esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

EJEMPLO 1: Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x	p i
0	0,1
1	0,2
2	0,1
3	0,4
4	0,1
5	0,1

Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

EJEMPLO 2: Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

 EJEMPLO 3: Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable:

 p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. 

Diagrama de arbol ( Probabilidad)

Basicamente se a explicado en el primer tema lo que es un diagrama de arbol, ya sabemos que se entiende como:

Una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad:

EJEMPLO 1: 

Una universidad tiene de tres facultades:

• La 1ª con el 50% de estudiantes.
• La 2ª con el 25% de estudiantes.
• La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

 

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

EJEMPLO 2:

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1 Seleccionar tres niños.

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

1 Seleccionar tres niñas.

 EJEMPLO 3: si se lanzan dos monedas,La probabilidad de cara es 1/2, y la probabilidad de sello también es 1/2:

 

la probabilidad de cara,cara es
1/2 x 1/2 = 1/4

La probabilidad de cara, sello es 

1/2 x 1/2 = 1/4 

Eventos Independientes (Probabilidad)

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos):

EJEMPLO 1: Cual es la probalidad de vivir al tirarse al vacio (considerando que se puede vivir o morir) o sacar un As en una baraja?
(disculpe el ejemplo maestra xD)


P (vivir, As) = (1/2) (4/52) = 1/26 de probabilidad


EJEMPLO 2: Cuales la probabilidad de meter gol (considerando que se puede anotar o fallar) o sacar sello si se tira una moneda al aire?:


P(Meter gol, sello) = (1/2)(1/2) = 1/4 de probabilidad


EJEMPLO 3:  Cual es la probabilidad de sacar un numero par de 24 numeros o ganar en una apuesta? ( considerando que se puede ganar o perder):


P (n.par, ganar) = (12/24)(1/2) =  1/4 de probabilidad

Eventos Que NO Son Mutuamente Excluyentes (Probabilidad)

Este tipo de eventos son los que SI pueden ocurrir al mismo tiempo.

EJEMPLO 1: Cuales la probabilidad se sacar un 4  o un trebol?

P( 4 y trebol ) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 de probabilidad

EJEMPLO 2: Cual es la probabilidad de sacar una letra con lugar impar en el abecedario o una vocal?:

P( impar y vocal ) =  14/27 + 5/27 - 1/27 =  18/27 de probabilidad 

EJEMPLO 3 :cual es la probabilidad de sacar una ficha color negra de una caja de 3 tipos de colores  o el numero 1? considerando que en la caja hay 30 fichas con numeros del 1 al 30:

 P (negra y 1) = 10/30 + 3/30 - 1/30 = 12/30 de probabilidad de sacar una ficha negra con el numero 1. 

Eventos Mutuamente Excluyentes (Probabilidad)

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). 

EJEMPLO 1:  Se tienen en una bodega 12 automoviles de diferente color ( 5 azules, 2 negros, 4 blancos y 1 gris) , si se elige uno al azar con los ojos tapados,  cual es la probabilidad de que se escoja un automovil blanco o uno azul?:

P (blanco o azul) =  4/12 + 5/12 =  9/12 de probabilidad de escojer un auto blanco o azul

EJEMPLO 2: En un casino se tiene una ruleta de numeros ganadores, si en total son 50 numeros que hay en juego ( de los cuales 9 son del primer lugar, 18 son del segundo y  23 del tercer lugar), cual es la probabilidad de que NO se saque un numero del segundo y tercer lugar?

P (Segundo lugar ' o tercer lugar ') = 1 - 41/50 = 9/50 de probabilidad 

EJEMPLO 3: En un establo hay 34 caballos de diferente raza ( 20 son mustang, 9 camargue, 5 mongol) cual es la probabilidad de que se escoja se escoja un caballo mustang o un mongol?:

P(Mustang o Mongol) = 20/34 + 5/34 = 25/34 de de escoja un mustang y un mongol.

Probabilidad Clasica (Probabilidad)

La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por ω₁,ω₂, etcétera, son elementos del espacio Ω.

EJEMPLO 1: supongamos que se colocan cuatro canicas en una caja, los colores de las canicas son (rojo, azul, amarillo, verde).

        El experimento consiste en sacar de la caja una canica sin escogerla, es decir, al azar y al repetirlo se regresa la canica extraída, es decir, es un experimento aleatorio porque todas las canicas tienen la misma probabilidad de salir, la probabilidad de salir de cada evento es:

P (E) =

        Cada evento elemental puede identificarse con una letra mayúscula.

EJEMPLO 2: La probabilidad de sacar un naipe al azar que sea un As tomando en cuenta que son 52 cartas:

  La probabilidad seria de 4/52 lo que es equivalente a  7.6% de que salga un As

EJEMPLO 3: La probabilidad de sacar una canica verde de una cubeta considerando que solo hay 3 canicas verde en la cubeta y un total de 150 canicas de colores distintos:

La probabilidad seria de 3/150 lo que es equivalente al 2% de que salga una canica verde.

Combinaciones (Tecnicas De conteo)

Se caracterizan por ser arreglos SIN ORDEN de cualquier objeto , letra o numero:

EJEMPLO 1:  De cuantas formas se pueden realizar equipos de 5 personas para la clase de matematicas que tiene un total de 30 alumnos?:

30 C 5 = 142,506 formas

EJEMPLO 2: De cuantas maneras  una persona en un supermercado puede seleccionar 3 latas de atun de una lista de 8 marcas diferentes?:

8 C 3 : 56 formas

EJEMPLO 3 :    De cuantas maneras se pueden formar grupos de 3 conejos si en total hay 9 razas diferentes?

9 C 3 =  72 formas.